Question

20．已知函数f（x）=2sin（ωx），其中常数ω＞0．
（1）若y=f（x）在$[-\frac{3π}{4}，\frac{π}{3}]$上单调递增，求ω的取值范围；
（2）令ω=2，将函数y=f（x）的图象向左平移$\frac{π}{6}$个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到函数y=g（x）的图象，区间[a，b]（a＜b，a，b∈R）满足：y=g（x）在[a，b]上至少含有20个零点，在所有满足上述条件的[a，b]中，求b-a的最小值．

Answer 1

分析 （1）已知函数y=f（x）在$[-\frac{3π}{4}，\frac{π}{3}]$上单调递增，且ω＞0，利用正弦函数的单调性可得$\left\{{\begin{array}{l}{-\frac{3π}{4}ω≥-\frac{π}{2}}\\{\frac{π}{3}ω≤\frac{π}{2}}\end{array}}\right.$，即可得解ω的取值范围．
（2）利用变换法则“左加右减，上加下减”即可得到g（x）的解析式，令g（x）=0，即可解出零点的坐标，可得相邻两个零点之间的距离．若b-a最小，则a和b都是零点，此时在区间[a，mπ+a]（m∈N^*）恰有2m+1个零点，所以在区间[a，9π+a]是恰有19个零点，从而在区间（9π+a，b]至少有一个零点，即可得到a，b满足的条件．进一步即可得出b-a的最小值．

解答 解：（1）因为y=f（x）在$[-\frac{3π}{4}，\frac{π}{3}]$上单调递增，ω＞0，
根据题意有，$\left\{{\begin{array}{l}{-\frac{3π}{4}ω≥-\frac{π}{2}}\\{\frac{π}{3}ω≤\frac{π}{2}}\end{array}}\right.$，
所以：$0＜ω≤\frac{2}{3}$．
（2）由题意：f（x）=2sin2x，
将函数y=f（x）的图象向左平移$\frac{π}{6}$个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到函数解析式为：g（x）=2sin（2x+$\frac{π}{3}$）+1，
∵g（x）=0，可得：sin（2x+$\frac{π}{3}$）=-$\frac{1}{2}$，
∴x=kπ-$\frac{π}{4}$或x=kπ-$\frac{7π}{12}$，k∈Z，
即g（x）的零点相离间隔依次为$\frac{π}{3}$和$\frac{2π}{3}$，
∴若y=g（x）在[a，b]上至少含有20个零点，
∵若b-a最小，则a和b都是零点，此时在区间[a，π+a]，[a，2π+a]，…，[a，mπ+a]（m∈N^*）分别恰有3，5，…，2m+1个零点，
所以在区间[a，9π+a]是恰有19个零点，从而在区间（9π+a，b]至少有一个零点，
∴b-a-9π≥$\frac{π}{3}$，
则b-a的最小值为$\frac{28π}{3}$．

点评 本题综合考查了三角函数的单调性、周期性、函数的零点等基础知识与基本技能，考查了分析问题和解决问题的能力、推理能力和计算能力，属于中档题．