Question

12．在四棱锥P-ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，四边形ABCD为直角梯形，BC∥AD，∠ADC=90°，BC=CD=$\frac{1}{2}$AD=1，PA=PD，E，F分别为线段AD，PC的中点．
（1）求证：PA∥平面BEF；
（2）若直线PC与AB所成的角为45°，求线段PE的长．

Answer 1

分析 （1）以E为原点，EA为x轴，EB为y轴，EP为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能证明直线PA∥平面BEF．
（2）由$\overrightarrow{PC}$=（-1，1，t），$\overrightarrow{AB}$=（-1，1，0），直线PC与AB所成的角为45°，利用向量法能求出PE．

解答 证明：（1）∵在四棱锥P-ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，四边形ABCD为直角梯形，BC∥AD，∠ADC=90°，
BC=CD=$\frac{1}{2}$AD=1，PA=PD，E，F分别为线段AD，PC的中点，
∴PE⊥平面ABCD，BE⊥AE，
以E为原点，EA为x轴，EB为y轴，EP为z轴，建立空间直角坐标系，
A（1，0，0），E（0，0，0），B（0，1，0），C（-1，1，0），
设P（0，0，t），则F（-$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2}$，$\frac{t}{2}$），
$\overrightarrow{PA}$=（1，0，-t），$\overrightarrow{EF}$=（-$\frac{1}{2}，\frac{1}{2}，\frac{t}{2}$），$\overrightarrow{EB}$=（0，1，0），
设平面BEF的法向量$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{PA}=x-tz=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{EB}=y=0}\end{array}\right.$，取x=t，得$\overrightarrow{n}$=（t，0，1），
∵$\overrightarrow{PA}$•$\overrightarrow{n}$=t-t=0，且PA?平面BEF，
∴直线PA∥平面BEF．
解：$\overrightarrow{PC}$=（-1，1，t），$\overrightarrow{AB}$=（-1，1，0），
∵直线PC与AB所成的角为45°，
∴cos45°=$\frac{|\overrightarrow{PC}•\overrightarrow{AB}|}{|\overrightarrow{PC}|•|\overrightarrow{AB}|}$=$\frac{|1+1+0|}{\sqrt{2+{t}^{2}}•\sqrt{2}}$，
解得t=$\sqrt{2}$，或t=-$\sqrt{2}$（舍），
∴PE=t=$\sqrt{2}$．

点评 本题考查线面平行的证明，考查线段长的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．