Question

17．已知在△ABC中，角A、B、C的对边分别是a、b、c，且2sin²A+3cos（B+C）=0．
（1）求角A的大小；
（2）若△ABC的面积S=$5\sqrt{3}，c=4$，求sinB+sinC的值．

Answer 1

分析 （1）由题意可得cosA的方程，解得cosA=$\frac{1}{2}$，A=$\frac{π}{3}$；
（2）由三角形的面积公式可得b和c的值，由余弦定理可得a，整体代入sinB+sinC=$\frac{sinA}{a}$×（b+c），计算可得．

解答 解：（1）∵在△ABC中2sin²A+3cos（B+C）=0，
∴2（1-cos²A）-3cosA=0，解得cosA=$\frac{1}{2}$，或cosA=-2（舍去），
∵0＜A＜π，∴角A=$\frac{π}{3}$；
（2）∵△ABC的面积S=$\frac{1}{2}$bcsinA=$\frac{\sqrt{3}}{4}$bc=5$\sqrt{3}$，∴bc=20，
再由c=4可得b=5，故b+c=9，由余弦定理可得：
a²=b²+c²-2bccosA=（b+c）²-3bc=21，∴a=$\sqrt{21}$，
∴sinB+sinC=$\frac{bsinA}{a}$+$\frac{csinA}{a}$=$\frac{sinA}{a}$×（b+c）=$\frac{\sqrt{3}}{2×\sqrt{21}}$×9=$\frac{9\sqrt{7}}{14}$

点评 本题考查正余弦定理解三角形，涉及三角形的面积公式和整体代入的思想，属中档题．