Question

7．已知数列{a_n}的前n项和为S_n，满足2S_n+a_n=n²+2n+2，n∈N^*，数列{b_n}满足b_n=a_n-n．
（Ⅰ）求数列{b_n}的通项公式；
（Ⅱ）求数列{nb_n}的前n项和T_n．

Answer 1

分析 （I）通过2S_n+a_n=n²+2n+2与2S_n+1+a_n+1=（n+1）²+2（n+1）+2作差、整理可知3a_n+1-a_n=2n+3，利用b_n=a_n-n化简可知3b_n+1=b_n，进而计算可得结论；
（II）通过（I）可知nb_n=n•$\frac{2}{{3}^{n}}$，进而利用错位相减法计算即得结论．

解答 解：（I）由2S_n+a_n=n²+2n+2，①
得2S₁+a₁=5，即a₁=$\frac{5}{3}$，
2S_n+1+a_n+1=（n+1）²+2（n+1）+2，②
②-①得：3a_n+1-a_n=2n+3，
∵b_n=a_n-n，
∴a_n=b_n+n，a_n+1=b_n+1+n+1，
∴3（b_n+1+n+1）-（b_n+n）=2n+3，
整理得：3b_n+1=b_n，
又∵b₁=a₁-1=$\frac{2}{3}$，
∴数列{b_n}是以首项为$\frac{2}{3}$、公比为$\frac{1}{3}$的等比数列，
∴b_n=$\frac{2}{{3}^{n}}$；
（II）由（I）可知nb_n=n•$\frac{2}{{3}^{n}}$，
∴T_n=2（$\frac{1}{3}$+$\frac{2}{{3}^{2}}$+…+$\frac{n}{{3}^{n}}$），
$\frac{1}{3}$T_n=2（$\frac{1}{{3}^{2}}$+$\frac{2}{{3}^{3}}$+…+$\frac{n-1}{{3}^{n}}$+$\frac{n}{{3}^{n+1}}$），
两式相减得：$\frac{2}{3}$T_n=2（$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{{3}^{2}}$+…+$\frac{1}{{3}^{n}}$-$\frac{n}{{3}^{n+1}}$）=2[$\frac{\frac{1}{3}（1-\frac{1}{{3}^{n}}）}{1-\frac{1}{3}}$-$\frac{n}{{3}^{n+1}}$]=1-$\frac{2n+3}{{3}^{n+1}}$，
∴T_n=$\frac{3}{2}$（1-$\frac{2n+3}{{3}^{n+1}}$）．

点评 本题考查数列的通项及前n项和，考查错位相减法，注意解题方法的积累，属于中档题．