Question

18．已知数列{a_n}的前n项和为S_n，若S₁=1，S₂=2，且S_n+1-3S_n+2S_n-1=0（n∈N^*，且n≥2）．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）设数列b_n=a_n•log₂a_n，求{b_n}的前n项和T_n．

Answer 1

分析 （1）由已知得a_n+1=2a_n，从而a₂，a₃，a₄…，a_n成等比数例，由此能求出${a}_{n}=\left\{\begin{array}{l}{1，n=1}\\{{2}^{n-2}，n≥2}\end{array}\right.$，
（2）当n=1时，b₁=0，当n≥2时，${b_n}=（n-2）•{2^{n-2}}$，由此利用错位相减法能求出{b_n}的前n项和T_n．

解答 解：（1）当n≥2时，S_n+1-S_n=2（S_n-S_n-1），
∴a_n+1=2a_n，
∵a₁=1，a₂=1，∴$\frac{a_2}{a_1}≠2$，∴a₂，a₃，a₄…，a_n成等比数例，
∴n≥2时，${a}_{n}={a}_{2}•{q}^{n-2}={2}^{n-2}$，
∵a₁=1，∴${a}_{n}=\left\{\begin{array}{l}{1，n=1}\\{{2}^{n-2}，n≥2}\end{array}\right.$，
（2）由（1）有${a}_{n}=\left\{\begin{array}{l}{1，n=1}\\{{2}^{n-2}，n≥2}\end{array}\right.$，
当n=1时，b₁=a₁•log₂a₁，b₁=1×log₂1=0，
当n≥2时，
${b_n}=（n-2）•{2^{n-2}}$…（8分）
∴${T_n}=1×{2^1}+2×{2^2}+…+（n-2）•{2^{n-2}}$①
$2{T_n}=1×{2^2}+2×{2^3}+…+（n-2）•{2^{n-1}}$②
由①②有：$-{T_n}=-2-（n-3）•{2^{n-1}}$，
∴${T_n}=2+（n-3）•{2^{n-1}}$…（12分）

点评 本题考查数列的通项公式的求法，考查数列的前n项和的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意错位相减法的合理运用．