Question

4．如图所示，在三角形ABC中，AD⊥BC，AD=1，BC=4，点E为AC的中点，$\overrightarrow{DC}•\overrightarrow{BE}$=$\frac{15}{2}$，则AB的长度为（　　）

• A． 2
• B． $\frac{3}{2}$
• C． $\sqrt{2}$
• D． $\sqrt{3}$

Answer 1

分析 可以D为坐标原点，BC，AD所在直线分别为x轴，y轴，建立平面直角坐标系，并设BD=x，从而CD=4-x，这样便可写出图形上各点的坐标，从而可求出向量$\overrightarrow{DC}，\overrightarrow{BE}$的坐标，根据$\overrightarrow{DC}•\overrightarrow{BE}=\frac{15}{2}$进行向量数量积的坐标运算便可建立关于x的方程，解出x，从而得出点B的坐标，从而便可得出AB的长度．

解答 解：以D为原点，分别以BC，AD所在直线为x，y轴，建立如图所示平面直角坐标系，设BD=x，CD=4-x，则：
D（0，0），A（0，-1），B（-x，0），C（4-x，0），E（$\frac{4-x}{2}，-\frac{1}{2}$）；
∴$\overrightarrow{DC}=（4-x，0），\overrightarrow{BE}=（\frac{4+x}{2}，-\frac{1}{2}）$；
∴$\overrightarrow{DC}•\overrightarrow{BE}=\frac{16-{x}^{2}}{2}+0=\frac{15}{2}$；
∵x＞0，∴解得x=1；
∴B（-1，0），又A（0，-1）；
∴$|AB|=\sqrt{1+1}=\sqrt{2}$．
故选：C．

点评 考查通过建立平面直角坐标系，利用向量的坐标解决向量问题的方法，能求平面上点的坐标，根据点的坐标可求向量的坐标，以及向量数量积的坐标运算，两点间的距离公式．