Question

15．设非零向量$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$的夹角为θ，若存在m∈R，使得向量4$\overrightarrow{a}$-m$\overrightarrow{b}$与$\overrightarrow{a}$-m$\overrightarrow{b}$的夹角也为θ，则cosθ的最小值是-1．

Answer 1

分析 由题意可得，当θ=π时，满足题目条件，由此可得cosθ的最小值是-1．

解答 解：如图，设$\overrightarrow{OA}$=$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{OD}$=$\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{OC}$=4$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{OB}$=-m$\overrightarrow{b}$，

且|4$\overrightarrow{a}$|＞|-m$\overrightarrow{b}$|，|$\overrightarrow{a}$|＜|-m$\overrightarrow{b}$|，
则有非零向量$\overrightarrow{a}$与$\overrightarrow{b}$的夹角为π，向量4$\overrightarrow{a}$-m$\overrightarrow{b}$与$\overrightarrow{a}$-m$\overrightarrow{b}$的夹角也为π，
此时cosθ的最小值是cosπ=-1．
故答案为：-1．

点评 本题考查数量积表示两个向量的夹角，考查了数形结合的解题思想方法，考查了想象能力和理解能力，有一定难度．