Question

10．若函数f（x）同时满足以下三个性质；①f（x）的最小正周期为π；②对任意的x∈R，都有f（x-$\frac{π}{4}$）=f（-x）；③f（x）在（$\frac{3π}{8}$，$\frac{π}{2}$）上是减函数．则f（x）的解析式可能是（　　）

• A． f（x）=cos（x+$\frac{π}{8}$）
• B． f（x）=sin2x-cos2x
• C． f（x）=sinxcosx
• D． f（x）=sin2x+cos2x

Answer 1

分析 由三角函数的图象和性质，结合题意的三个性质，逐个排查即可．

解答 解：根据题意，函数应满足：①f（x）的最小正周期为π；
②对任意的x∈R，都有f（x-$\frac{π}{4}$）=f（-x），
以“x+$\frac{π}{8}$”换“x”，得f（x-$\frac{π}{8}$）=f（-x-$\frac{π}{8}$），
即f（x）的图象关于直线x=-$\frac{π}{8}$对称；
③f（x）在（$\frac{3π}{8}$，$\frac{π}{2}$）上是减函数；
对于A，f（x）=cos（x+$\frac{π}{8}$）的周期为T=2π，不符合①，故不满足题意；
对于B，f（x）=sin2x-cos2x=$\sqrt{2}$sin（2x-$\frac{π}{4}$），不符合②，故不满足题意；
对于C，f（x）=sinxcosx=$\frac{1}{2}$sin2x，不符合②，故不满足题意；
对于D，f（x）=sin2x+cos2x=$\sqrt{2}$sin（2x+$\frac{π}{4}$），符合①②③，满足题意．
故选：D．

点评 本题考查了三角函数的图象和性质的应用问题，是基础题目．