Question

5．已知数列{a_n}为等差数列，a₂=3，a₄=7；数列{b_n}为公比为q（q＞1）的等比数列，且满足集合{b₁，b₂，b₃}={1，2，4}．
（Ⅰ）求数列{a_n}，{b_n}的通项公式；
（Ⅱ）求数列{a_n+b_n}的前n项和S_n．

Answer 1

分析 （Ⅰ）通过联立a₂=3、a₄=7计算可知等差数列{a_n}的首项和公差，从而可得其通项公式；通过等比数列{b_n}成公比大于1的等比数列可确定b₁=1、b₂=2、b₃=4，进而可求出首项和公比，从而可得通项公式；
（Ⅱ）通过（I），利用分组求和法计算即得结论．

解答 解：（Ⅰ）设等差数列的首项和公差分别为a₁、d，
∵a₂=3，a₄=7，
∴a₁+d=3，a₁+3d=7，
解得：a₁=1，d=2，
∴a_n=1+2（n-1）=2n-1，
∵等比数列{b_n}成公比大于1的等比数列且{b₁，b₂，b₃}={1，2，4}，
∴b₁=1，b₂=2，b₃=4，
∴b₁=1，q=2，
∴b_n=2^n-1；
（Ⅱ）由（I）可知S_n=（a₁+a₂+…+a_n）+（b₁+b₂+…+b_n）
=$\frac{n（1+2n-1）}{2}$+$\frac{1-{2}^{n}}{1-2}$
=n²+2ⁿ-1．

点评 本题考查数列的通项及前n项和，考查分组求和法，注意解题方法的积累，属于中档题．