Question

11．已知α∈（0，$\frac{π}{2}$]，求${∫}_{0}^{α}$（cosx-sinx）dx的最大值及取得最大值时α的值．

Answer 1

分析 首先求出定积分对应的函数，然后等价变形，利用正弦函数的有界性求最值．

解答 解：${∫}_{0}^{α}$（cosx-sinx）dx=（sinx+cosx）|${\;}_{0}^{α}$=sinα+cosα-1=$\sqrt{2}$sin（$α+\frac{π}{4}$）-1；
α∈（0，$\frac{π}{2}$]，所以$α+\frac{π}{4}∈（\frac{π}{4}，\frac{3π}{4}）$，
所以当$α+\frac{π}{4}$=$\frac{π}{2}$，即$α=\frac{π}{4}$时，$\sqrt{2}$sin（$α+\frac{π}{4}$）-1取最大值为$\sqrt{2}-1$；

点评 本题考查了定积分的计算以及三角函数的值域求法；关键是正确求出定积分对应的函数，然后利用三角函数的有界性求最值．