Question

14．已知数列{a_n}为正项数列，其前n项和为S_n，且S_n满足$4{S_n}={（{a_n}+1）^2}$，
（Ⅰ）求证：数列{a_n}为等差数列；
（Ⅱ）设${b_n}=\frac{1}{{{a_n}•{a_{n+1}}}}$，求数列{b_n}的前n项和为T_n．

Answer 1

分析 （Ⅰ）通过在$4{S_n}={（{a_n}+1）^2}$中令n=1可知a₁=1，当n≥2时通过$4{S_n}={（{a_n}+1）^2}$与$4{S}_{n-1}=（{a}_{n-1}+1）^{2}$作差，进而计算可得结论；
（Ⅱ）通过（Ⅰ）、裂项可知数列{b_n}的通项公式，进而并项相加即得结论．

解答 （Ⅰ）证明：由于$4{S_n}={（{a_n}+1）^2}$，
（1）当n=1时，有$4{S_1}=4{a_1}={（{a_1}+1）^2}$，解得：a₁=1，
（2）当n≥2时，有$\left\{\begin{array}{l}4{S_n}={（{a_n}+1）^2}\\ 4{S_{n-1}}={（{a_{n-1}}+1）^2}\end{array}\right.$，
作差、整理可得：（a_n+a_n-1）（a_n-a_n-1-2）=0，
又∵数列{a_n}为正项数列，
∴a_n-a_n-1=2，
∴数列{a_n}是首项为1、公差为2的等差数列；
（Ⅱ）解：由（Ⅰ）可知a₁=1、d=2，所以a_n=2n-1，
由题意可知：${b_n}=\frac{1}{{{a_n}•{a_{n+1}}}}=\frac{1}{（2n-1）（2n+1）}=\frac{1}{2}（\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1}）$，
故${T_n}={b_1}+{b_2}+…{b_n}=\frac{1}{2}[（1-\frac{1}{3}）+（\frac{1}{3}-\frac{1}{5}）+…+（\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1}）]$
=$\frac{1}{2}（1-\frac{1}{2n+1}）=\frac{n}{2n+1}$．

点评 本题考查数列的通项及前n项和，考查裂项相消法，注意解题方法的积累，属于中档题．