Question

3．已知函数$f（x）=\left\{\begin{array}{l}\frac{a}{x-1}，\;x≤0\\{log_2}x，\;x＞0.\end{array}\right.$
①若a=1，且关于x的方程f（x）=k有两个不同的实根，则实数k的取值范围是[-1，0）；
②若关于x的方程f（f（x））=0有且只有一个实根，则实数a的取值范围是（-1，0）∪（0，+∞）．

Answer 1

分析 ①当a=1时，作出函数f（x）的图象求出函数f（x）的范围，利用数形结合进行求解即可．
②利用换元法设t=f（x），则f（t）=0，先求出t的值，结合函数f（x）=t的根的情况进行讨论即可．

解答 解：①若a=1，此时f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{1}{x-1}，}&{x≤0}\\{lo{g}_{2}x，}&{x＞0}\end{array}\right.$，
作出函数f（x）的图象如图：
若关于x的方程f（x）=k有两个不同的实根，
则-1≤k＜0，
则实数k的取值范围是[-1，0）；
②若关于x的方程f（f（x））=0有且只有一个实根，
设t=f（x），则f（t）=0，
当t＞0时，由f（t）=0，得log₂t=0，则t=1，
当t＜0时，$\frac{a}{t-1}$=0，若a=0，此时f（f（x））=0有无数个解，不满足条件．
则a≠0，此时，$\frac{a}{t-1}$=0此时方程无解．
当t＞0时，由log₂x=t有一个解，
则若方程f（f（x））=0有且只有一个实根，
则等价为当x≤0时，$\frac{a}{x-1}$≤0，
∵x≤0，∴x-1≤-1．
则a≥0，
∵a≠0，
∴a＞0，
当a＜0时，满足$\left\{\begin{array}{l}{\frac{a}{x-1}＜1}\\{\frac{a}{x-1}＞0}\end{array}\right.$，
∵x＜0，
∴$\left\{\begin{array}{l}{a＞x-1}\\{a＜0}\end{array}\right.$，
则-1＜a＜0，
综上实数a的取值范围是（-1，0）∪（0，+∞），
故答案为：[-1，0）；（-1，0）∪（0，+∞）

点评 本题主要考查分段函数的应用，利用换元法转化为标准函数，利用数形结合是解决本题的关键．综合性较强，有一定的难度．