Question

13．设当x=θ时，函数f（x）=2cosx-3sinx取得最小值，则tanθ等于（　　）

• A． $\frac{2}{3}$
• B． -$\frac{2}{3}$
• C． -$\frac{3}{2}$
• D． $\frac{3}{2}$

Answer 1

分析 利用辅助角公式化简函数的解析式为f（x）=-$\sqrt{13}$cos（x-θ） （其中，cosθ=-$\frac{2}{\sqrt{13}}$，sinθ=$\frac{3}{\sqrt{13}}$ ），根据当x=θ时，函数f（x）取最小值，可得tanθ的值．

解答 解：∵当x=θ时，函数f（x）=2cosx-3sinx=$\sqrt{13}$（$\frac{2}{\sqrt{13}}$cosx-$\frac{3}{\sqrt{13}}$sinx）=-$\sqrt{13}$（-$\frac{2}{\sqrt{13}}$cosx+$\frac{3}{\sqrt{13}}$sinx）
=-$\sqrt{13}$cos（x-θ） （其中，cosθ=-$\frac{2}{\sqrt{13}}$，sinθ=$\frac{3}{\sqrt{13}}$ ）取得最小值，
则tanθ=$\frac{sinθ}{cosθ}$=-$\frac{3}{2}$，
故选：C．

点评 本题主要考查辅助角公式，余弦函数的定义域和值域，属于中档题．