Question

15．已知公差不为零的等差数列{a_n}（n≥3）的最大项为正数．若将数列{a_n}中的项重新排列得到公比为q的等比数列{b_n}．则下列说法正确的是（　　）

• A． q＞0时，数列{b_n}中的项都是正数
• B． 数列{a_n}中一定存在的为负数的项
• C． 数列{a_n}中至少有三项是正数
• D． 以上说法都不对

Answer 1

分析 不妨设等差数列{a_n}中的每一项如下：a₁＜a₂＜a₃＜…＜a_n，其中a_n＞0．如果数列{a_n}中至少有三项式正数，比如0＜a_n-2＜a_n-1＜a_n，这时，a_n-2，a_n-1，a_n即是等差数列又是等比数列，可得：a_n-2=a_n-1=a_n，矛盾．即可得出．

解答 解：不妨设等差数列{a_n}中的每一项如下：a₁＜a₂＜a₃＜…＜a_n，其中a_n＞0．
如果数列{a_n}中至少有三项式正数，比如0＜a_n-2＜a_n-1＜a_n，这时，a_n-2，a_n-1，a_n即是等差数列又是等比数列，即a_n-2=a_n-1=a_n，矛盾．
说明数列{a_n}中至多有两项是正数．
∴数列{a_n}中一定存在的为负数的项．
故选：B．

点评 本题考查了等差数列与等比数列的通项公式及其性质、反证法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．