Question

10．已知数列{a_n}的奇数项是首项为1的等差数列，偶数项是首项为2的等比数列．设数列{a_n}的前n项和为S_n，且满足a₄=S₃，a₉=a₃+a₄．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）若a_ka_k+1=a_k+2，求正整数k的值；
（3）是否存在正整数k，使得$\frac{{{S_{2k}}}}{{{S_{2k-1}}}}$恰好为数列{a_n}的一项？若存在，求出所有满足条件的正整数k；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）设{a_n}的奇数项构成的等差数列的公差为d，偶数项构成的等比数列的公比为q，运用通项公式，解方程可得d=2，q=3，即可得到所求通项公式；
（2）当k为奇数时，当k为偶数时，运用通项公式，解方程可得k的值；
（3）求得S_2k，S_2k-1，若$\frac{{{S_{2k}}}}{{{S_{2k-1}}}}$为数列{a_n}中的一项，整理化简求得k，m的值，再由数学归纳法证明，即可得到结论．

解答 解：（1）设{a_n}的奇数项构成的等差数列的公差为d，
偶数项构成的等比数列的公比为q，
则${a_{2n-1}}=1+（n-1）d，\;\;{a_{2n}}=2{q^{n-1}}$．
由已知，得$\left\{\begin{array}{l}2q=（2+d）+2\\ 1+4d=（1+d）+2q\end{array}\right.⇒\left\{\begin{array}{l}d=2\\ q=3.\end{array}\right.$
故数列{a_n}的通项公式为：${a_n}=\left\{\begin{array}{l}n，（当n为奇数）\\ 2•{3^{\frac{n-2}{2}}}，（当n为偶数）\end{array}\right.$．
（2）当k为奇数时，由a_ka_k+1=a_k+2，
得 $k•2•{3^{\frac{k-1}{2}}}=k+2\;⇒{3^{\frac{k-1}{2}}}=\frac{k+2}{2k}$．
由于${3^{\frac{k-1}{2}}}∈{N^*}，而\frac{k+2}{2k}仅在k=2时为正整数，与k为奇数矛盾！$
当k为偶数时，由a_ka_k+1=a_k+2，
得 $2•{3^{\frac{k-2}{2}}}•（k+1）=2•{3^{\frac{k}{2}}}\;⇒k=2$．
综上，得k=2．
（3）由（1）可求得${S_{2k}}=[{1+3+…+（2k-1）}]+2（1+3+{3^2}+…+{3^{k-1}}）={3^k}+{k^2}-1$，${S_{2k-1}}={S_{2k}}-{a_{2k}}={3^{k-1}}+{k^2}-1$．
若$\frac{{{S_{2k}}}}{{{S_{2k-1}}}}$为数列{a_n}中的一项，
则$\frac{{{S_{2k}}}}{{{S_{2k-1}}}}=m（m为正奇数），或\frac{{{S_{2k}}}}{{{S_{2k-1}}}}=2•{3^{\frac{m-2}{2}}}（m为正偶数）$．
（ i）若$\frac{{{S_{2k}}}}{{{S_{2k-1}}}}=m（m为正奇数）$，
则$\frac{{{3^k}+{k^2}-1}}{{{3^{k-1}}+{k^2}-1}}=m⇒（3-m）{3^{k-1}}=（m-1）（{k^2}-1）$．
当k=1时，m=3，结论成立；
当k≠1时，$\frac{{{3^{k-1}}}}{{{k^2}-1}}=\frac{m-1}{3-m}$，由$\frac{{{3^{k-1}}}}{{{k^2}-1}}＞0，得\frac{m-1}{3-m}＞0，解得1＜m＜3$，
由于m为正奇数，故此时满足条件的正整数k不存在．
（ ii）若$\frac{{{S_{2k}}}}{{{S_{2k-1}}}}=2•{3^{\frac{m-2}{2}}}（m为正偶数）$，显然k≠1，
$\frac{{{3^k}+{k^2}-1}}{{{3^{k-1}}+{k^2}-1}}=2•{3^{\frac{m-2}{2}}}⇒（3-2•{3^{\frac{m-2}{2}}}）{3^{k-1}}=（{k^2}-1）（2•{3^{\frac{m-2}{2}}}-1）⇒\frac{{{3^{k-1}}}}{{{k^2}-1}}=\frac{{2•{3^{\frac{m-2}{2}}}-1}}{{3-2•{3^{\frac{m-2}{2}}}}}$．
由k＞1得$\frac{{{3^{k-1}}}}{{{k^2}-1}}＞0，得\frac{{2•{3^{\frac{m-2}{2}}}-1}}{{3-2•{3^{\frac{m-2}{2}}}}}＞0⇒1＜2•{3^{\frac{m-2}{2}}}＜3$．$由m为正偶数，得2•{3^{\frac{m-2}{2}}}为正偶数$，
因此$2•{3^{\frac{m-2}{2}}}=2$，从而$\frac{{{3^{k-1}}}}{{{k^2}-1}}=1⇒{3^{k-1}}={k^2}-1$．
当k=2时，3^k-1=k²-1；
下面用数学归纳法证明：当k≥3时，3^k-1＞k²-1．
①当k=3时，显然3^k-1＞k²-1；
②假设当k=l≥3时，有3^l-1＞l²-1；
当k=l+1时，由l≥3得3（l²-1）-[（l+1）²-1]=（l-1）²+（l²-4）＞0，
故3^（l+1）-1=3•3^l-1＞3（l²-1）＞（l+1）²-1，
即当k=l+1时，结论成立．
由①，②知：当k≥3时，3^k-1＞k²-1．
综合（ i），（ ii）得：存在两个正整数k，k=1或2，使$\frac{{{S_{2k}}}}{{{S_{2k-1}}}}$为数列{a_n}中的项．

点评 本题考查等差数列和等比数列的通项公式和求和公式的运用，注意运用分类讨论的思想方法和数学归纳法的证明，考查推理和运算能力，属于中档题．