Question

5．已知正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁，点E，F，G分别是线段DC，D₁D和D₁B上的动点，给出下列结论：
①对于任意给定的点E，存在点F，使得AF⊥A₁E；
②对于任意给定的点F，存在点E，使得AF⊥A₁E；
③对于任意给定的点G，存在点F，使得AF⊥B₁G；
④对于任意给定的点F，存在点G，使得AF⊥B₁G．
其中正确结论的个数是（　　）

• A． 0
• B． 1
• C． 2
• D． 3

Answer 1

分析 根据直线与直线、直线与平面的位置关系，分别分析选项，利用排除法能得出结论

解答 解：因为DE⊥平面A₁D，根据三垂线定理，
①对于任意给定的点E，A₁E在平面A₁D的射影为A₁D，
所以存在点F，使得AF⊥A₁D，所以AF⊥A₁E；
②如果对于任意给定的点F，存在点E，使得AF⊥A₁E；那么AF⊥A₁D，又AD₁⊥A₁D，
得到过A有两条直线与A₁D垂直，故②错误；
③只有AF垂直D₁G在平面BCC₁B₁中的射影时，AF⊥B₁G，
∴③正确；
④只有AF⊥平面A₁CD₁时，④才正确，
∵过A点作平面A₁BD₁的垂线与BB₁无交点，
∴④错误．
故选：C．

点评 本题考查直线与直线、直线与平面的位置关系的判断，是中档题，解题时要注意空间思维能力的培养．