Question

16．设数列{a_n}的前n项和为S_n，已知a₁=2，a_n+1=4a_n-3n-1（n∈N^*）．
（1）设b_n=a_n-n，求证：{b_n}是等比数列，并求{b_n}的通项公式；
（2）求数列{a_n}的通项公式及S_n．

Answer 1

分析 （1）通过对a_n+1=4a_n-3n+1变形可知a_n+1-（n+1）=4a_n-4n，进而可知数列{b_n}是首项为1、公比为4的等比数列，计算即得结论；
（2）通过（1）可知a_n=n+4^n-1，进而利用分组求和法计算即得结论．

解答 （1）证明：∵a_n+1=4a_n-3n+1，
∴a_n+1-（n+1）=4a_n-4n，
又∵b_n=a_n-n，
∴b_n+1=4b_n，
又∵b₁=a₁-1=2-1=1，
∴数列{b_n}是首项为1、公比为4的等比数列，
∴b_n=4^n-1（n∈N^*）；
（2）解：由（1）知b_n=a_n-n=4^n-1，
∴a_n=n+4^n-1，
∴S_n=$\frac{n（n+1）}{2}$+$\frac{1-{4}^{n}}{1-4}$=$\frac{{4}^{n}-1}{3}$+$\frac{n（n+1）}{2}$．

点评 本题考查数列的通项及前n项和，考查运算求解能力，考查分组求和法，对表达式的灵活变形是解决本题的关键，注意解题方法的积累，属于中档题．