Question

11．已知数列{a_n}的前n项和为S_n，且{a_n}满足：a₁=3，S_n=2a_n+n（n∈N⁺）
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）设b_n=（-1）ⁿ•log₂（a_n-1），求数列{b_n}的前n项和T_n．

Answer 1

分析 （1）当n≥2时，由S_n=2a_n+n可推出Sn-1=2a_n-1+（n-1）从而可得数列{a_n-1}是以2为首项，2为公比的等比数列，从而求数列{a_n}的通项公式．a_n=3ⁿ-1；
（2）b_n=n（-1）ⁿ），{b_n}等差乘以等比数列，从而可以用错位相减法求和．

解答 解：（1）由S_n=2a_n+n，
得Sn-1=2a_n-1+（n-1），（n≥2）
两式相减，得a_n=2a_n-2a_n-1+1，a_n=2a_n-1-1，（n≥2）
a_n-1=2（a_n-1-1），{a_n-1}为等比数列，公比为2
又a_n-1=2•2^n-1，∴a_n=2ⁿ+1
（2）b_n=（-1）ⁿ•log₂（a_n-1）=n（-1）ⁿ
∴T_n=1×（-1）¹+2×（-1）²+3×（-1）³+…+（n-1）（-1）^n-1+n×（-1）ⁿ ①
-T_n=1×（-1）²+2×（-1）³+3×（-1）⁴…（n-1）×（-1）ⁿ+n×（-1）ⁿ⁺¹ ②
①-②得2T_n=1×（-1）¹+1×（-1）²+1×（-1）³+…+1×（-1）ⁿ-n×（-1）ⁿ⁺¹
2T_n=$\frac{1}{2}$[（-1）ⁿ-1]-n（-1）ⁿ⁺¹
∴T_n=$\frac{1}{4}[（-1）^{n}-1]-\frac{1}{2}n（-1）^{n+1}$

点评 求数列的前n项和，首先应该求出数列的通项，判断通项的特点，选择合适的求和方法．