Question

1．已知函数f（x）=cos（2x-$\frac{π}{3}$）+2sin（x-$\frac{π}{4}$）sin（x+$\frac{π}{4}$）．
（1）求函数y=f（x）在区间[-$\frac{π}{12}$，$\frac{π}{2}$]上的最值；
（2）设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，满足c=$\sqrt{3}$，f（C）=1且sinB=2sinA，求a，b的值．

Answer 1

分析 （1）利用和差公式、倍角公式、诱导公式可得：函数f（x）=$sin（2x-\frac{π}{6}）$．由于x∈[-$\frac{π}{12}$，$\frac{π}{2}$]，可得$（2x-\frac{π}{6}）$∈$[-\frac{π}{3}，\frac{5π}{6}]$．再利用正弦函数的单调性即可得出．
（2）f（C）=1=$sin（2C-\frac{π}{6}）$，0＜C＜π，可得$（2C-\frac{π}{6}）$∈$（-\frac{π}{6}，\frac{11π}{6}）$．解得C．由于sinB=2sinA，利用正弦定理可得：b=2a，又c=$\sqrt{3}$．再利用余弦定理即可得出．

解答 解：（1）函数f（x）=cos（2x-$\frac{π}{3}$）+2sin（x-$\frac{π}{4}$）sin（x+$\frac{π}{4}$）=$\frac{1}{2}$cos2x+$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin2x-2sin（x+$\frac{π}{4}$）$cos（x+\frac{π}{4}）$
=$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin2x-$sin（2x+\frac{π}{2}）$+$\frac{1}{2}$cos2x=$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin2x-$\frac{1}{2}$cos2x=$sin（2x-\frac{π}{6}）$．
∵x∈[-$\frac{π}{12}$，$\frac{π}{2}$]，∴$（2x-\frac{π}{6}）$∈$[-\frac{π}{3}，\frac{5π}{6}]$．∴$sin（2x-\frac{π}{6}）$∈$[-\frac{\sqrt{3}}{2}，1]$．
∴f（x）在2x-$\frac{π}{6}$=-$\frac{π}{3}$，即x=-$\frac{π}{12}$时取得最小值-$\frac{\sqrt{3}}{2}$；在2x-$\frac{π}{6}$=$\frac{π}{2}$，即x=$\frac{π}{3}$时取得最大值1．
（2）f（C）=1=$sin（2C-\frac{π}{6}）$，0＜C＜π，可得$（2C-\frac{π}{6}）$∈$（-\frac{π}{6}，\frac{11π}{6}）$．∴$2C-\frac{π}{6}$=$\frac{π}{2}$，解得C=$\frac{π}{3}$．
∵sinB=2sinA，∴b=2a，又c=$\sqrt{3}$．
∴$cos\frac{π}{3}$=$\frac{{a}^{2}+{b}^{2}-{c}^{2}}{2ab}$=$\frac{{a}^{2}+4{a}^{2}-3}{4{a}^{2}}$=$\frac{1}{2}$，解得a=1，∴b=2．

点评 本题考查了正弦定理余弦定理、和差公式、倍角公式、诱导公式、三角函数的图象与性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．