Question

9．已知函数f（x）=$\frac{a}{x}$-1+lnx，若存在x₀＞0，使得f（x₀）≤0有解，则实数a的取值范围为（-∞，1]．

Answer 1

分析 利用参数分离法进行转化，构造函数求出函数的单调性和极值即可得到结论．

解答 解：若存在x₀＞0，使得f（x₀）≤0有解，
则由f（x）=$\frac{a}{x}$-1+lnx≤0，即$\frac{a}{x}$≤1-lnx，
即a≤x-xlnx，设h（x）=x-xlnx，
则h′（x）=1-（lnx+x$•\frac{1}{x}$）=1-lnx-1=-lnx，
由h′（x）＞0得-lnx＞0，即lnx＜0，得0＜x＜1，此时函数递增，
由h′（x）＜0得-lnx＜0，即lnx＞0，得x＞1，此时函数递减，
即当x=1时，函数h（x）取得极大值h（1）=1-ln1=1，
即h（x）≤1
若a≤x-xlnx，有解，则a≤1，
故答案为：（-∞，1]

点评 本题主要考查根的存在性性问题，利用参数分离法，构造函数求出函数的极值，注意本题是存在性问题，不是恒成立问题，注意两者的区别．