Question

4．已知数列{a_n}的前n项和S_n=kⁿ-1（k∈R），且{a_n}既不是等差数列，也不是等比数列，则k的取值集合是{0}．

Answer 1

分析 利用递推关系可得：a₁=S₁=k-1；n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=k^n-1（k-1）．对k分类讨论，利用等差数列与等比数列的通项公式及其定义即可得出结论．

解答 解：∵数列{a_n}的前n项和S_n=kⁿ-1（k∈R），
∴a₁=S₁=k-1；n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=kⁿ-1-（k^n-1-1）=k^n-1（k-1）．
k=1时，a_n=0，此时数列{a_n}是等差数列．
k≠1，0时，此时数列{a_n}是等比数列，首项为k-1，公比为k．
k=0时，a₁=-1，n≥2时，a_n=0．此时{a_n}既不是等差数列，也不是等比数列．
∴k的取值集合是{0}．
故答案为：{0}．

点评 本题考查了等差数列与等比数列的通项公式及其定义，考查了分类讨论方法、推理能力与计算能力，属于中档题．