Question

19．已知函数f（x）=Acos²（ωx+φ）+1（A＞0，ω＞0，0＜φ＜$\frac{π}{2}}$）的最大值为3，f（x）的图象与y轴的交点坐标为（0，2），其相邻两条对称轴间的距离为2，则f（1）+f（2）+f（3）+…f（2016）=4032．

Answer 1

分析 由函数的最值求出A，由周期求出ω，由特殊点求出φ的值，可得函数的解析式，再利用函数的周期性，求得要求式子的值．

解答 解：∵已知函数f（x）=Acos²（ωx+φ）+1（A＞0，ω＞0，0＜φ＜$\frac{π}{2}}$）的最大值为A+1=3，故A=2．
f（x）的图象与y轴的交点坐标为（0，2），
∵f（0）=2cos²φ+1=2，∴cosφ=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，φ=$\frac{π}{4}$，
即f（x）=2cos²（ωx+$\frac{π}{4}$）+1=cos（2ωx+$\frac{π}{2}$）+2=-sin2ωx+2．
再根据其相邻两条对称轴间的距离为$\frac{1}{2}$T=$\frac{1}{2}$•$\frac{2π}{2ω}$=2，可得ω=$\frac{π}{4}$，f（x）=-sin$\frac{π}{2}$x+2，
故函数的周期为$\frac{2π}{\frac{π}{2}}$=4．
∵f（1）+f（2）+f（3）+f（4）=1+2+3+2=8，∴f（1）+f（2）+f（3）+…+f（2016）
=504•[f（1）+f（2）+f（3）+f（4）]=4032，
故答案为：4032．

点评 本题主要考查由函数y=Asin（ωx+φ）的部分图象求解析式，由函数的最值求出A，由周期求出ω，由特殊点求出φ的值，函数的周期性的应用，属于基础题．