Question

9．在数列{a_n}中，前n项和为S_n，且${S_n}=\frac{n（n+1）}{2}$．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）设${b_n}=\frac{a_n}{2^n}$，求数列{b_n}的前项和T_n．

Answer 1

分析 （I）由${S_n}=\frac{n（n+1）}{2}$，可得n=1时，a₁=S₁=1；n≥2时，a_n=S_n-S_n-1．
（II）${b_n}=\frac{a_n}{2^n}$=$\frac{n}{{2}^{n}}$，利用“错位相减法”与等比数列的前n项和公式即可得出．

解答 解：（I）∵${S_n}=\frac{n（n+1）}{2}$，∴n=1时，a₁=S₁=1；n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=$\frac{n（n+1）}{2}$-$\frac{n（n-1）}{2}$=n．n=1时也成立．
∴a_n=n．
（II）${b_n}=\frac{a_n}{2^n}$=$\frac{n}{{2}^{n}}$，
∴数列{b_n}的前项和T_n=$\frac{1}{2}+\frac{2}{{2}^{2}}$+$\frac{3}{{2}^{3}}$+…+$\frac{n}{{2}^{n}}$，
$\frac{1}{2}{T}_{n}$=$\frac{1}{{2}^{2}}+\frac{2}{{2}^{3}}$+…+$\frac{n-1}{{2}^{n}}$+$\frac{n}{{2}^{n+1}}$，
∴$\frac{1}{2}{T}_{n}$=$\frac{1}{2}+\frac{1}{{2}^{2}}$+…+$\frac{1}{{2}^{n}}$-$\frac{n}{{2}^{n+1}}$=$\frac{\frac{1}{2}（1-\frac{1}{{2}^{n}}）}{1-\frac{1}{2}}$-$\frac{n}{{2}^{n+1}}$=$1-\frac{2+n}{{2}^{n+1}}$，
∴T_n=2-$\frac{2+n}{{2}^{n}}$．

点评 本题考查了等比数列的通项公式及其前n项和公式、“错位相减法”、递推关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．