Question

15．当m变化时，圆x²+y²+（m-2）x+my-m=0过两定点A，B，则线段AB的垂直平分线方程x-y-1=0．

Answer 1

分析 利用圆系方程求出A、B的坐标，两条直线垂直的性质求得线段AB的垂直平分线的斜率，再用点斜式求得AB的垂直平分线的方程．

解答 解：当m变化时，圆x²+y²+（m-2）x+my-m=0，即x²+y²-2x+m（x+y-1）=0，
它一定经过圆x²+y²-2x=0和直线x+y-1=0的交点A（1-$\frac{\sqrt{2}}{2}$，$\frac{\sqrt{2}}{2}$ ）、B（1+$\frac{\sqrt{2}}{2}$，-$\frac{\sqrt{2}}{2}$）．
由于AB的斜率为-1，故线段AB的垂直平分线的斜率为1，
再根据线段AB的中点为（1，0），故线段AB的垂直平分线方程为y-0=1（x-1），
即 x-y-1=0，
故答案为：x-y-1=0．

点评 本题主要考查圆系方程的应用，两条直线垂直的性质，用点斜式求直线的方程，属于基础题．