Question

5．已知函数f（x）=b•a^x（其中a，b为常数，且a＞0，a≠1）的图象经过点A（1，6），B（3，24）
（1）求f（x）的表达式；
（2）若不等式a^x+b^x-m（ab）^x≥0在x∈（-∞，1]时恒成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析 （1）直接代入，求解即可；
（2）不等式可整理为m≤$（\frac{1}{3}）^{x}$+$（\frac{1}{2}）^{x}$，构造函数h（x）=$（\frac{1}{3}）^{x}$+$（\frac{1}{2}）^{x}$，根据函数的单调性，求出函数的最小值即可．

解答 解：（1）∵图象经过点A（1，6），B（3，24）
∴ab=6，a³b=24，
∴a=2，b=3，
∴f（x）=2•3^x；
（2）a^x+b^x-m（ab）^x≥0在x∈（-∞，1]时恒成立，
∴2^x+3^x≥m2^x3^x，
∴m≤$（\frac{1}{3}）^{x}$+$（\frac{1}{2}）^{x}$，
令h（x）=$（\frac{1}{3}）^{x}$+$（\frac{1}{2}）^{x}$，显然在定义域内递减，
∴h（x）的最小值为f（1）=$\frac{5}{6}$，
∴m≤$\frac{5}{6}$，

点评 本题考查了抽象函数参数的求解和恒成立问题的转化，属于常规题型，应熟练掌握．