Question

10．已知等差数列{a_n}的公差为2，且a₁，a₁+a₂，2（a₁+a₄）成等比数列．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）设b_n=a_n+2^n-1，求数列{b_n}的前n项和S_n．

Answer 1

分析 （I）由a₁，a₁+a₂，2（a₁+a₄）成等比数列，可得$（{a}_{1}+{a}_{2}）^{2}$=2a₁•（a₁+a₄），即$（2{a}_{1}+2）^{2}$=2a₁（2a₁+6），解得a₁即可得出．
（II）b_n=a_n+2^n-1=（2n-1）+2^n-1．再利用等差数列与等比数列的前n项和公式即可得出．

解答 解：（I）∵等差数列{a_n}的公差为2，
∴a₂=a₁+2，a₄=a₁+6，
∵a₁，a₁+a₂，2（a₁+a₄）成等比数列，
∴$（{a}_{1}+{a}_{2}）^{2}$=2a₁•（a₁+a₄），即$（2{a}_{1}+2）^{2}$=2a₁（2a₁+6），解得a₁=1．
∴a_n=1+2（n-1）=2n-1．
（II）b_n=a_n+2^n-1=（2n-1）+2^n-1．
∴数列{b_n}的前n项和S_n=$\frac{n（1+2n-1）}{2}$+$\frac{{2}^{n}-1}{2-1}$=n²+2ⁿ-1．

点评 本题考查了等差数列与等比数列的通项公式及其前n项和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．