Question

10．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a-c=$\frac{\sqrt{3}}{3}$bsinA-bcosA
（Ⅰ）求B；
（Ⅱ）若b=$\sqrt{3}$，△ABC的面积S=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，求△ABC的周长．

Answer 1

分析 （I）利用正弦定理将边化弦，利用三角函数的恒等变换化简得出B的三角函数值；
（II）根据面积公式得出ac，利用余弦定理解得a+c，从而得出三角形的周长．

解答 解：（I）∵a-c=$\frac{\sqrt{3}}{3}$bsinA-bcosA，∴sinA-sinC=$\frac{\sqrt{3}}{3}$sinBsinA-sinBcosA，
∵sinC=sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinB，
∴sinA-sinAcosB=$\frac{\sqrt{3}}{3}$sinBsinA，
∵sinA≠0，
∴1-cosB=$\frac{\sqrt{3}}{3}$sinB．即cosB=1-$\frac{\sqrt{3}}{3}$sinB．
又sin²B+cos²B=1，
∴sinB=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，cosB=$\frac{1}{2}$．
∴B=$\frac{π}{3}$．
（II）∵S_△ABC=$\frac{1}{2}acsinB$=$\frac{\sqrt{3}}{4}ac$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴ac=2．
由余弦定理得cosB=$\frac{{a}^{2}+{c}^{2}-{b}^{2}}{2ac}$=$\frac{（a+c）^{2}-2ac-{b}^{2}}{2ac}$=$\frac{（a+c）^{2}-7}{4}=\frac{1}{2}$，
∴a+c=3．
∴a+b+c=3+$\sqrt{3}$．

点评 本题考查了正弦定理，余弦定理，三角形的面积公式，属于中档题．