Question

1．已知函数f（x）=sinxcosx+$\sqrt{3}{cos^2}$x
（1）若0≤x≤$\frac{π}{2}$，求函数f（x）的值域；
（2）设△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若A为锐角且f（A）=$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，b=2，c=3，求cos（A-B）的值．

Answer 1

分析 （1）使用二倍角公式化简f（x），根据x的范围和正弦函数的性质求出f（x）的最值；
（2）由f（A）计算A，利用余弦定理计算a，根据正弦定理求出sinB，得出cosB，利用两角差的余弦公式计算．

解答 解：（1）f（x）=$\frac{1}{2}sin2x+\frac{{\sqrt{3}}}{2}cos2x+\frac{{\sqrt{3}}}{2}$=$sin（{2x+\frac{π}{3}}）+\frac{{\sqrt{3}}}{2}$．
∵$0≤x≤\frac{π}{2}$，∴$\frac{π}{3}≤2x+\frac{π}{3}≤\frac{4π}{3}$，
∴当2x+$\frac{π}{3}$=$\frac{π}{2}$时，f（x）取得最大值1+$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
当2x+$\frac{π}{3}$=$\frac{4π}{3}$时，f（x）取得最小值0．
∴函数f（x）的值域为$[{0，\;1+\frac{{\sqrt{3}}}{2}}]$．
（2）由$f（A）=sin（{2A+\frac{π}{3}}）+\frac{{\sqrt{3}}}{2}=\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，
∴$sin（{2A+\frac{π}{3}}）=0$．
∵$0＜A＜\frac{π}{2}$，∴$\frac{π}{3}＜2A+\frac{π}{3}＜\frac{4π}{3}$，
∴$2A+\frac{π}{3}=π$，即$A=\frac{π}{3}$．
在△ABC中，由余弦定理得，a²=b²+c²-2bccosA=$4+9-2×2×3×cos\frac{π}{3}=7$，
∴$a=\sqrt{7}$．
由正弦定理得$\frac{a}{sinA}=\frac{b}{sinB}$，∴$sinB=\frac{bsinA}{a}=\frac{{\sqrt{21}}}{7}$．
由于b＜a，∴$cosB=\frac{{2\sqrt{7}}}{7}$，
∴cos（A-B）=cosAcosB+sinAsinB=$\frac{1}{2}×\frac{{2\sqrt{7}}}{7}+\frac{{\sqrt{3}}}{2}×\frac{{\sqrt{21}}}{7}=\frac{{5\sqrt{7}}}{14}$．

点评 本题考查了三角函数的恒等变换，正弦函数的图象与性质，正余弦定理解三角形，属于中档题．