Question

14．在区间[0，1]上随机取两个数x，y，记P为事件“kx≤y≤$\sqrt{x}$”的概率，若P=$\frac{5}{12}$，则实数k=$\frac{1}{2}$．

Answer 1

分析 由题意和几何概型以及定积分可得k的方程，解方程可得．

解答 解：在区间[0，1]上随机取两个数x，y，
则总的基本事件构成的区域为{（x，y）|0≤x≤1，0≤y≤1}，为面积为1的正方形，
事件P“kx≤y≤$\sqrt{x}$”的构成的区域为{（x，y）|0≤x≤1，0≤y≤1且kx≤y≤$\sqrt{x}$}，
由定积分可得其面积S=${∫}_{0}^{1}（\sqrt{x}-kx）$dx=（$\frac{2}{3}$${x}^{\frac{3}{2}}$-$\frac{1}{2}$kx²）${|}_{0}^{1}$=$\frac{2}{3}$-$\frac{1}{2}$k，
由P=$\frac{5}{12}$可得$\frac{2}{3}$-$\frac{1}{2}$k=$\frac{5}{12}$，解得k=$\frac{1}{2}$，
故答案为：$\frac{1}{2}$．

点评 本题考查几何概型，涉及定积分求面积，属基础题．