Question

5．已知函数f（x）=|x-2|-|x+1|
（Ⅰ）解不等式：f（x）＜2；
（Ⅱ）若?x∈R，f（x）≥t²-$\frac{7}{2}$t恒成立，求实数t的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）通过讨论x的范围，求出各个区间上的x的范围，取并集即可；（Ⅱ）求出f（x）的最小值，问题转化为t²-$\frac{7}{2}$t≤-3，解出即可．

解答 解：（Ⅰ）x≥2时：f（x）=x-2-x-1=-3＜2，成立，
-1＜x＜2时：f（x）=2-x-x-1=1-2x＜2，解得：-$\frac{1}{2}$＜x＜2，
x≤-1时：f（x）=2-x+x+1=3＜2不成立，
故不等式的解集是（-$\frac{1}{2}$，+∞）；
（Ⅱ）f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{-3，x≥2}\\{1-2x，-1＜x＜2}\\{3，x≤-1}\end{array}\right.$，
故f（x）的最小值是-3，
若?x∈R，使得f（x）≥t²-$\frac{7}{2}$t恒成立，
即有f（x）_min≥t²-$\frac{7}{2}$t，
即有t²-$\frac{7}{2}$t≤-3，解得：$\frac{3}{2}$≤t≤2，
则实数t的取值范围为[$\frac{3}{2}$，2]．

点评 本题考查了解绝对值不等式问题，考查分类讨论思想，是一道中档题．