Question

15．设S_n是数列{a_n}的前n项和，a_n＞0，且S_n=$\frac{1}{6}$a_n（a_n+3）
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）设c_n=$\frac{{a}_{n}}{{2}^{n-1}}$，B_n是数列{c_n}的前n项和，求B_n．（若改为c_n=a_n+2^n-1呢？）
（3）设b_n=$\frac{1}{{（a}_{n}-1）（{a}_{n}+2）}$，T_n=b₁+b₂+…+b_n，求证：T_n＜$\frac{1}{6}$．

Answer 1

分析 （1）通过S_n=$\frac{1}{6}$a_n（a_n+3）与S_n-1=$\frac{1}{6}$a_n-1（a_n-1+3）作差、整理可知a_n-a_n-1=3，进而可知数列{a_n}是首项、公差均为3的等差数列，计算即得结论；
（2）①若c_n=$\frac{{a}_{n}}{{2}^{n-1}}$，利用错位相减法计算可知B_n=12-6•$\frac{n+2}{{2}^{n}}$；②若c_n=a_n+2^n-1，利用分组求和法计算可知B_n=$\frac{3n（n+1）}{2}$+2ⁿ-1；
（3）通过（1）裂项可知b_n=$\frac{1}{3}$（$\frac{1}{3n-1}$-$\frac{1}{3n+2}$），进而并项相加、放缩即得结论．

解答 （1）解：∵S_n=$\frac{1}{6}$a_n（a_n+3），
∴当n≥2时，S_n-1=$\frac{1}{6}$a_n-1（a_n-1+3），
两式相减得：a_n=$\frac{1}{6}$a_n（a_n+3）-$\frac{1}{6}$a_n-1（a_n-1+3），
整理得：（a_n+a_n-1）（a_n-a_n-1）=3（a_n+a_n-1）
又∵a_n＞0，
∴a_n-a_n-1=3，
∵S₁=$\frac{1}{6}$a₁（a₁+3），解得：a₁=3或a₁=0（舍），
∴数列{a_n}是首项、公差均为3的等差数列，
∴a_n=3n；
（2）解：①由（1）可知c_n=$\frac{{a}_{n}}{{2}^{n-1}}$=3n•$\frac{1}{{2}^{n-1}}$，
∴B_n=3（1•$\frac{1}{{2}^{1-1}}$+2•$\frac{1}{2}$+3•$\frac{1}{{2}^{2}}$+…+n•$\frac{1}{{2}^{n-1}}$），
$\frac{1}{2}$B_n=3[1•$\frac{1}{2}$+2•$\frac{1}{{2}^{2}}$+…+（n-1）•$\frac{1}{{2}^{n-1}}$+n•$\frac{1}{{2}^{n}}$]，
两式相减得：$\frac{1}{2}$B_n=3（1+$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{{2}^{2}}$+…+$\frac{1}{{2}^{n-1}}$-n•$\frac{1}{{2}^{n}}$）
=3•（$\frac{1-\frac{1}{{2}^{n}}}{1-\frac{1}{2}}$-n•$\frac{1}{{2}^{n}}$）
=6-3•$\frac{n+2}{{2}^{n}}$，
∴B_n=12-6•$\frac{n+2}{{2}^{n}}$；
②由（1）可知c_n=a_n+2^n-1=3n+2^n-1，
∴B_n=3•$\frac{n（n+1）}{2}$+$\frac{1-{2}^{n}}{1-2}$=$\frac{3n（n+1）}{2}$+2ⁿ-1；
（3）证明：由（1）可知b_n=$\frac{1}{{（a}_{n}-1）（{a}_{n}+2）}$=$\frac{1}{（3n-1）（3n+2）}$=$\frac{1}{3}$（$\frac{1}{3n-1}$-$\frac{1}{3n+2}$），
∴T_n=b₁+b₂+…+b_n
=$\frac{1}{3}$（$\frac{1}{3-1}$-$\frac{1}{3+2}$+$\frac{1}{3+2}$-$\frac{1}{3×2+2}$+…+$\frac{1}{3n-1}$-$\frac{1}{3n+2}$）
=$\frac{1}{3}$（$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3n+2}$）
＜$\frac{1}{6}$．

点评 本题考查数列的通项公式及前n项和，考查错位相减法，考查裂项相消法，考查分组求和法，注意解题方法的积累，属于中档题．