Question

20．将函数f（x）的图象向左平移φ（0＜φ＜$\frac{π}{2}$）个单位后得到函数g（x）=sin2x的图象，若对满足|f（x₁）-g（x₂）|=2的x₁，x₂，有|x₁-x₂|_min=$\frac{π}{3}$，则φ=（　　）

• A． $\frac{5π}{12}$
• B． $\frac{π}{3}$
• C． $\frac{π}{4}$
• D． $\frac{π}{6}$

Answer 1

分析 利用三角函数的最值，求出自变量x₁，x₂的值，然后判断选项即可；也可结合正弦函数的图象和性质可得|x₁-x₂|_min=$\frac{π}{2}$-φ=$\frac{π}{3}$，从而解得φ的值．

解答 解：法一，因为将函数g（x）=sin2x的周期为π，函数的图象向右平移φ（0＜φ＜$\frac{π}{2}$）个单位后得到函数f（x）=sin（2x-2φ）的图象．
若对满足|f（x₁）-g（x₂）|=2的可知，两个函数的最大值与最小值的差为2，有|x₁-x₂|_min=$\frac{π}{3}$，
不妨设：x₂=$\frac{π}{4}$，x₁=$\frac{7π}{12}$，即f（x）在x₁=$\frac{7π}{12}$，取得最小值，sin（2×$\frac{7π}{12}$-2φ）=-1，此时φ=$\frac{5π}{6}$+kπ，k∈Z，由于0＜φ＜$\frac{π}{2}$，不合题意，
不妨设：x₂=$\frac{π}{4}$，x₁=-$\frac{π}{12}$，即f（x）在x₁=-$\frac{π}{12}$，取得最小值，sin[2×（-$\frac{π}{12}$）-2φ]=-1，此时φ=$\frac{π}{6}$-kπ，k∈Z，当k=0时，φ=$\frac{π}{6}$满足题意．
法二，因为将函数g（x）=sin2x的周期为π，函数的图象向右平移φ（0＜φ＜$\frac{π}{2}$）个单位后得到函数f（x）=sin2（x-φ）的图象．
若对满足|f（x₁）-g（x₂）|=2的可知，两个函数的最大值与最小值的差为2，有|x₁-x₂|_min=$\frac{π}{3}$，
由题意可得：有|x₁-x₂|_min=$\frac{π}{2}$-φ=$\frac{π}{3}$，
 结合范围0＜φ＜$\frac{π}{2}$，解得：φ=$\frac{π}{6}$．
故选：D．

点评 本题考查三角函数的图象平移，函数的最值以及函数的周期的应用，考查分析问题解决问题的能力，是好题，题目新颖．有一定难度，选择题，可以回代验证的方法快速解答．