Question

12．设直线l：3x+4y+a=0，圆C：（x-2）²+y²=4，若在直线l上存在一点M，使得过M的圆C的切线MP，MQ（P，Q为切点）满足∠PMQ=90°，则a的取值范围是（　　）

• A． [-18，6]
• B． [6-5$\sqrt{2}$，6+5$\sqrt{2}$]
• C． [-16，4]
• D． [-6-5$\sqrt{2}$，-6+5$\sqrt{2}$]

Answer 1

分析 由切线的对称性和圆的知识可将问题转化为只需直线l到C（2，0）的距离小于或等于2，由点到直线的距离公式解a的不等式可得．

解答 解：∵在直线l上存在一点M，使得过M的圆C的切线MP，MQ（P，Q为切点）满足∠PMQ=90°，
∴在直线l上存在一点M，使得过M到C（2，0）的距离等于2，
∴只需直线l到C（2，0）的距离小于或等于2，
故$\frac{|3×2+4×0+a|}{\sqrt{{3}^{2}+{4}^{2}}}$≤$\sqrt{2}$，解得-16≤a≤4，
故选：C．

点评 本题考查直线和圆的位置关系，数形结合并转化为点到直线的距离小于或等于2是解决问题的关键，属中档题．