Question

12．已知双曲线$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线与抛物线y²=2px（p＞0）的准线的交点坐标为$（-\frac{4}{3}，\frac{8}{3}）$，且双曲线与抛物线的一个公共点M的坐标（x₀，4），则双曲线的方程为$\frac{{x}^{2}}{5}$-$\frac{{y}^{2}}{20}$=1．

Answer 1

分析 求得双曲线的渐近线方程和抛物线的准线方程，由题意可得p=$\frac{8}{3}$，$\frac{b}{a}$=2，求得M（3，4）代入双曲线的方程，解方程可得a，b，进而得到双曲线的方程．

解答 解：双曲线$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}$=1的渐近线方程为y=±$\frac{b}{a}$x，
抛物线y²=2px的准线方程为x=-$\frac{p}{2}$，
由题意可得$\frac{p}{2}$=$\frac{4}{3}$，即p=$\frac{8}{3}$，
$\frac{b}{a}$=2，即b=2a①
又M的坐标（x₀，4），可得16=2px₀=$\frac{16}{3}$x₀，
解得x₀=3，
将M（3，4）代入双曲线的方程可得$\frac{9}{{a}^{2}}$-$\frac{16}{{b}^{2}}$=1②
由①②解得a=$\sqrt{5}$，b=2$\sqrt{5}$，
即有双曲线的方程为$\frac{{x}^{2}}{5}$-$\frac{{y}^{2}}{20}$=1．
故答案为：$\frac{{x}^{2}}{5}$-$\frac{{y}^{2}}{20}$=1．

点评 本题考查双曲线的方程的求法，注意运用待定系数法，考查抛物线的准线方程和双曲线的渐近线方程，化简整理的运算能力，属于中档题．