Question

7．在平面直角坐标系xOy中，已知△ABC的顶点B（-5，0）和C（5，0），顶点A在双曲线$\frac{x^2}{9}-\frac{y^2}{16}=1$的右支上，则$\frac{sinC-sinB}{sinA}$=$\frac{3}{5}$?．

Answer 1

分析 首先由正弦定理，有$\frac{sinC-sinB}{sinA}$=$\frac{AB-AC}{BC}$，进而根据双曲线的几何性质，可得|CB|=2c=4，|AB|-|CA|=2a=6，代入$\frac{AB-AC}{BC}$，即可得到答案．

解答 解：根据正弦定理：在△ABC中，有$\frac{sinC-sinB}{sinA}$=$\frac{AB-AC}{BC}$，
又由题意C、B分别是双曲线$\frac{x^2}{9}-\frac{y^2}{16}=1$的左、右焦点，
则|CB|=2c=10，
且△ABC的顶点A在双曲线的右支上，
又可得|AB|-|AC|=2a=6，
则$\frac{sinC-sinB}{sinA}$=$\frac{AB-AC}{BC}$=$\frac{6}{10}$=$\frac{3}{5}$．
故答案为：$\frac{3}{5}$．

点评 本题考查双曲线的定义、方程和性质，注意运用定义法，以及正弦定理的应用，考查计算能力，属于中档题．