Question

2．如图，△ABC是等腰直角三角形，AB=AC，∠BCD=90°，且BC=$\sqrt{3}$CD=3．将△ABC沿BC的边翻折，设点A在平面BCD上的射影为点M，若点M在△BCD内部（含边界），则点M的轨迹的最大长度等于$\frac{\sqrt{3}}{2}$；在翻折过程中，当点M位于线段BD上时，直线AB和CD所成的角的余弦值等于$\frac{\sqrt{6}}{6}$．

Answer 1

分析 点A的射影M的轨迹为CD的中位线，可得其长度；当点M位于线段BD上时，取BC中点为N，AC中点为P，可得∠MNP或其补角即为直线AB和CD所成的角，由已知数据和余弦定理可得．

解答 解：由题意可得点A的射影M的轨迹为CD的中位线，其长度为$\frac{1}{2}$CD=$\frac{\sqrt{3}}{2}$；
当点M位于线段BD上时，AM⊥平面ACD，取BC中点为N，AC中点为P，
∴∠MNP或其补角即为直线AB和CD所成的角，
则由中位线可得MN=$\frac{1}{2}$CD=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，PC=$\frac{1}{2}$AB=$\frac{3\sqrt{2}}{4}$，
又MP为RT△AMC斜边AC的中线，故MP=$\frac{1}{2}$AC=$\frac{3\sqrt{2}}{4}$，
∴在△MNP中，由余弦定理可得cos∠MNP=$\frac{（\frac{\sqrt{3}}{2}）^{2}+（\frac{3\sqrt{2}}{4}）^{2}-（\frac{3\sqrt{2}}{4}）^{2}}{2×\frac{\sqrt{3}}{2}×\frac{3\sqrt{2}}{4}}$=$\frac{\sqrt{6}}{6}$，
故答案为：$\frac{\sqrt{3}}{2}$；$\frac{\sqrt{6}}{6}$．

点评 本题考查异面直线及其所成的角，理清翻转前后的数值的关系是解决问题的关键，属中档题．