Question

3．若数列{a_n}满足：a₁=0，且a_n=a_n-1+2n-1（n∈N^*，n≥2），数列{b_n}满足b_n=$\sqrt{{a}_{n}+1}$•$\sqrt{{a}_{n+1}+1}$•（$\frac{8}{11}$）^n-1，则数列{b_n}的最大项为第6项．

Answer 1

分析 由已知数列递推式利用累加法求得数列{a_n}的通项公式，代入b_n=$\sqrt{{a}_{n}+1}$•$\sqrt{{a}_{n+1}+1}$•（$\frac{8}{11}$）^n-1，整理后利用$\left\{\begin{array}{l}{{b}_{n}≥{b}_{n-1}}\\{{b}_{n}≥{b}_{n+1}}\end{array}\right.$求解关于n的不等式组得答案．

解答 解：由a₁=0，且a_n=a_n-1+2n-1（n∈N^*，n≥2），
得a_n-a_n-1=2n-1（n≥2），则
a₂-a₁=2×2-1，
a₃-a₂=2×3-1，
a₄-a₃=2×4-1，
…
a_n=a_n-1+2n-1（n≥2），
累加得：a_n=2（2+3+…+n）-（n-1）=$2×\frac{（n+2）（n-1）}{2}-n+1$=n²-1．
∴b_n=$\sqrt{{a}_{n}+1}$•$\sqrt{{a}_{n+1}+1}$•（$\frac{8}{11}$）^n-1 =$\sqrt{{n}^{2}}•\sqrt{（n+1）^{2}}•（\frac{8}{11}）^{n-1}$=$（{n}^{2}+n）•（\frac{8}{11}）^{n-1}$．
由$\left\{\begin{array}{l}{{b}_{n}≥{b}_{n-1}}\\{{b}_{n}≥{b}_{n+1}}\end{array}\right.$，得$\left\{\begin{array}{l}{（{n}^{2}+n）•（\frac{8}{11}）^{n-1}≥（{n}^{2}-n）•（\frac{8}{11}）^{n-2}}\\{（{n}^{2}+n）•（\frac{8}{11}）^{n-1}≥（{n}^{2}+3n+2）•（\frac{8}{11}）^{n}}\end{array}\right.$，
即$\frac{16}{3}≤n≤\frac{19}{3}$，
∵n∈N^*，∴n=6．
∴数列{b_n}的最大项为第6项．
故答案为：6．

点评 本题考查数列递推式，训练了累加法求数列的通项公式，根据条件建立不等式组是解决本题的关键，是中档题．