Question

13．已知{a_n}是正项数列，a₁=1，且点（$\sqrt{a_n}$，a_n+1）在函数y=x²+1的图象上．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）若数列{b_n}满足b₁=1，b_n+1=b_n+2a_n，求数列{b_n}的前n项和S_n．

Answer 1

分析 （1）由已知得a_n+1=a₁+1，从而数列{a_n}是首项为1，公差为1的等差数列，由此能求出数列{a_n}的通项公式．
（2）由已知b_n+1-b_n=2n，利用累加法求出b_n=n²-n+1．由此能求出数列{b_n}的前n项和．

解答 解：（1）∵{a_n}是正项数列，a₁=1，且点（$\sqrt{a_n}$，a_n+1）在函数y=x²+1的图象上，
∴a_n+1=a₁+1，
∴数列{a_n}是首项为1，公差为1的等差数列，
∴a_n=1+（n-1）×1=n．
（2）∵数列{b_n}满足b₁=1，b_n+1=b_n+2a_n=b_n+2n，
∴b_n+1-b_n=2n，
∴b_n=b₁+b₂-b₁+b₃-b₂+b₄-b₃+…+b_n-b_n-1
=1+2+4+6+…+2（n-1）
=1+$\frac{n-1}{2}（2+2n-2）$
=n²-n+1．
∴数列{b_n}的前n项和：
S_n=（1²+2²+3²+…+n²）-（1+2+3+…+n）+n
=$\frac{1}{6}$n（n+1）（2n+1）-$\frac{n（n+1）}{2}$+n．

点评 本题考查数列的通项公式的求法，考查数列的前n项和的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意分组求和法的合理运用．