Question

14．在平面直角坐标系xOy中，与双曲线$\frac{x^2}{5}-\frac{y^2}{4}=1$有相同渐近线，且一条准线方程为$y=\frac{{4\sqrt{2}}}{3}$的双曲线的标准方程为$\frac{{y}^{2}}{8}$-$\frac{{x}^{2}}{10}$=1．

Answer 1

分析 求得已知双曲线的渐近线方程，设出所求双曲线的方程为$\frac{{y}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{x}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a，b＞0），求出渐近线方程和准线方程，由题意可得$\frac{a}{b}$=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，$\frac{{a}^{2}}{c}$=$\frac{4\sqrt{2}}{3}$，结合a，b，c的关系，解方程可得a，b，进而得到双曲线的方程．

解答 解：双曲线$\frac{x^2}{5}-\frac{y^2}{4}=1$的渐近线为y=±$\frac{2\sqrt{5}}{5}$x，
设所求双曲线的方程为$\frac{{y}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{x}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a，b＞0），
渐近线方程为y=±$\frac{a}{b}$x，准线方程为y=±$\frac{{a}^{2}}{c}$，
由题意可得$\frac{a}{b}$=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，$\frac{{a}^{2}}{c}$=$\frac{4\sqrt{2}}{3}$，
又a²+b²=c²，解得a=2$\sqrt{2}$，b=$\sqrt{10}$，
即有所求双曲线的方程为$\frac{{y}^{2}}{8}$-$\frac{{x}^{2}}{10}$=1．
故答案为：$\frac{{y}^{2}}{8}$-$\frac{{x}^{2}}{10}$=1．

点评 本题考查双曲线的方程的求法，注意运用待定系数法，考查双曲线的渐近线方程和准线方程的运用，考查运算能力，属于中档题．