Question

4．已知F为双曲线$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$ （a＞0，b＞0）的左焦点，定点G（0，c），若双曲线上存在一点P满足|PF|=|PG|，则双曲线的离心率的取值范围是（　　）

• A． （$\sqrt{2}$，+∞）
• B． （1，$\sqrt{2}$）
• C． [$\sqrt{3}$，+∞）
• D． （1，$\sqrt{3}$）

Answer 1

分析 求出F的坐标，FG的中点和斜率，可得线段FG的垂直平分线方程，由题意可得FG的垂直平分线与双曲线有交点，运用渐近线的斜率可得-1＞-$\frac{b}{a}$，再由离心率公式计算即可得到所求范围．

解答 解：由题意可得F（-c，0），FG的中点为（-$\frac{c}{2}$，$\frac{c}{2}$），
直线FG的斜率为$\frac{c-0}{0+c}$=1，可得FG的垂直平分线的斜率为-1，
即有线段FG的垂直平分线方程为y-$\frac{1}{2}$c=-（x+$\frac{1}{2}$c），即为y=-x．
由双曲线C上存在点P满足|PF|=|PG|，
可得FG的垂直平分线与双曲线有交点，
由双曲线的渐近线方程为y=±$\frac{b}{a}$x，
即有-1＞-$\frac{b}{a}$，即a＜b，可得a²＜b²=c²-a²，
可得e=$\frac{c}{a}$＞$\sqrt{2}$，
故选：A．

点评 本题考查双曲线的方程和性质，考查离心率的范围的求法，以及线段的垂直平分线方程的求法，注意运用渐近线的斜率与直线的斜率的关系，属于中档题．