Question

19．已知双曲线C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1的左、右焦点分别是F₁，F₂，正三角形△AF₁F₂的顶点A在y轴上，边AF₁与双曲线左支交于点B，且$\overrightarrow{A{F}_{1}}$=4$\overrightarrow{B{F}_{1}}$，则双曲线C的离心率的值是（　　）

• A． $\frac{\sqrt{3}}{2}$+1
• B． $\frac{\sqrt{13}+1}{3}$
• C． $\frac{\sqrt{13}}{3}$+1
• D． $\frac{\sqrt{3}+1}{2}$

Answer 1

分析 不妨设△AF₁F₂的边长为4，求得c=2，由向量共线可得|BF₁|=1，在△BF₁F₂中，由余弦定理求得|BF₂|=$\sqrt{13}$，再由双曲线的定义和离心率公式计算即可得到所求值．

解答 解：不妨设△AF₁F₂的边长为4，则|F₁F₂|=2c=4，c=2．
由$\overrightarrow{A{F_1}}=4\overrightarrow{B{F_1}}$，可得|BF₁|=1，
在△BF₁F₂中，由余弦定理可得|BF₂|²=|BF₁|²+|F₁F₂|²-2|BF₁|•|F₁F₂|cos∠BF₁F₂
=1+16-2×1×4×$\frac{1}{2}$=13，|BF₂|=$\sqrt{13}$，
由双曲线的定义可得2a=|BF₂|-|BF₁|=$\sqrt{13}$-1，
解得a=$\frac{\sqrt{13}-1}{2}$，
则e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{13}+1}{3}$．
故选：B．

点评 本题考查双曲线的离心率的求法，注意运用双曲线的定义和余弦定理，考查运算能力，属于中档题．