Question

7．若直线y=2x与双曲线$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1没有公共点，则双曲线的离心率的取值范围是（　　）

• A． [$\sqrt{3}$，+∞）
• B． [$\sqrt{5}$，+∞）
• C． （1，$\sqrt{3}$]
• D． （1，$\sqrt{5}$]

Answer 1

分析 求出双曲线的渐近线方程，由题意可得渐近线的斜率的正值不大于2，由a，b，c的关系和离心率公式，可得范围．

解答 解：双曲线的渐近线方程为y=±$\frac{b}{a}$x，
由直线y=2x与双曲线$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1没有公共点，
可得$\frac{b}{a}$≤2，即b≤2a，
又e=$\frac{c}{a}$=$\sqrt{1+\frac{{b}^{2}}{{a}^{2}}}$≤$\sqrt{1+4}$=$\sqrt{5}$，
但e＞1，可得1＜e≤$\sqrt{5}$．
故选：D．

点评 本题考查了双曲线的渐近线和离心率，直线与双曲线相交等问题，考查运算能力，是基础题．