Question

18．矩形ABCD中，AD=mAB，E为BC的中点，若$\overrightarrow{AE}⊥\overrightarrow{BD}$，则m=（　　）

• A． $\sqrt{2}$
• B． $\sqrt{3}$
• C． 2
• D． 3

Answer 1

分析 根据向量的加减的几何意义和向量的数量积公式，得到$\overrightarrow{AE}$•$\overrightarrow{BD}$=（$\frac{{m}^{2}}{2}$-1）|$\overrightarrow{AB}$|²=0，解得即可．

解答 解：∵AD=mAB，E为BC的中点，
∴$\overrightarrow{AE}$=$\overrightarrow{AB}$+$\overrightarrow{BE}$=$\overrightarrow{AB}$+$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{BC}$=$\overrightarrow{AB}$+$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{AD}$，
$\overrightarrow{BD}$=$\overrightarrow{AD}$-$\overrightarrow{AB}$，
∵$\overrightarrow{AE}⊥\overrightarrow{BD}$，
∴$\overrightarrow{AE}$•$\overrightarrow{BD}$=（$\overrightarrow{AB}$+$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{AD}$）（$\overrightarrow{AD}$-$\overrightarrow{AB}$）=$\frac{1}{2}$|$\overline{AD}$|²-|$\overrightarrow{AB}$|²+$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AD}$=（$\frac{{m}^{2}}{2}$-1）|$\overrightarrow{AB}$|²=0，
∴$\frac{{m}^{2}}{2}$-1=0，
解得m=$\sqrt{2}$或m=-$\sqrt{2}$（舍去），
故选：A

点评 本题考查了向量的加减的几何意义和向量的数量积运算，以及向量垂直的条件，属于中档题．