Question

13．已知双曲线C：$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$（a＞0，b＞0）的左顶点为A，右焦点为F，点B（0，b），且$\overrightarrow{BA}•\overrightarrow{BF}=0$，则双曲线C的离心率为$\frac{\sqrt{5}+1}{2}$．

Answer 1

分析 设出A，F的坐标，运用向量的数量积的坐标表示，结合a，bc的关系和离心率公式，计算即可得到所求值．

解答 解：由题意可得A（-a，0），F（c，0），B（0，b），
可得$\overrightarrow{BA}$=（-a，-b），$\overrightarrow{BF}$=（c，-b），
由$\overrightarrow{BA}•\overrightarrow{BF}=0$，可得-ac+b²=0，
即有b²=c²-a²=ac，
由e=$\frac{c}{a}$，可得e²-e-1=0，
解得e=$\frac{1+\sqrt{5}}{2}$（负的舍去）．
故答案为：$\frac{{\sqrt{5}+1}}{2}$．

点评 本题考查双曲线的离心率的求法，注意运用向量的数量积的坐标表示，考查双曲线的渐近线方程和离心率公式，考查运算能力，属于中档题．