Question

1．已知抛物线y²=2px的准线方程为x=-1焦点为F，A，B，C为该抛物线上不同的三点，$\overrightarrow{\left|{FA}\right|}，\overrightarrow{\left|{FB}\right|}，\overrightarrow{\left|{FC}\right|}$成等差数列，且点B在x轴下方，若$\overrightarrow{FA}+\overrightarrow{FB}+\overrightarrow{FC}=0$，则直线AC的方程为2x-y-1=0．

Answer 1

分析 根据抛物线的准线方程求出p，设A，B，C的坐标，根据$\overrightarrow{\left|{FA}\right|}，\overrightarrow{\left|{FB}\right|}，\overrightarrow{\left|{FC}\right|}$成等差数列，且点B在x轴下方，若$\overrightarrow{FA}+\overrightarrow{FB}+\overrightarrow{FC}=0$，求出x₁+x₃=2，x₂=1，然后求出直线AC的斜率和A，C的中点坐标，进行求解即可．

解答 解：抛物线的准线方程是x=-$\frac{p}{2}$=-1，∴p=2，
即抛物线方程为y²=4x，F（1，0）
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），C（x₃，y₃），
∵|$\overrightarrow{FA}$|，|$\overrightarrow{FB}$|，|$\overrightarrow{FC}$|成等差数列，
∴|$\overrightarrow{FA}$|+|$\overrightarrow{FC}$|=2|$\overrightarrow{FB}$|，
即x₁+1+x₃+12（x₂+1），
即x₁+x₃=2x₂，
∵$\overrightarrow{FA}+\overrightarrow{FB}+\overrightarrow{FC}=0$，
∴（x₁-1+x₂-1+x₃-1，y₁+y₂+y₃）=0，
∴x₁+x₂+x₃=3，y₁+y₂+y₃=0，
则x₁+x₃=2，x₂=1，
由y₂²=4x₂=4，则y₂=-2或2（舍），
则y₁+y₃=2，
则AC的中点坐标为（$\frac{{x}_{1}+{x}_{3}}{2}$，$\frac{{y}_{1}+{y}_{3}}{2}$），即（1，1），
AC的斜率k=$\frac{{y}_{1}-{y}_{3}}{{x}_{1}-{x}_{3}}$=$\frac{{y}_{1}-{y}_{3}}{\frac{{{y}_{1}}^{2}}{4}-\frac{{{y}_{3}}^{2}}{4}}$=$\frac{4}{{y}_{1}+{y}_{3}}$=$\frac{4}{2}$=2，
则直线AC的方程为y-1=2（x-1），
即2x-y-1=0，
故答案为：2x-y-1=0

点评 本题主要考查直线和抛物线的位置关系，根据条件求出直线AB的斜率和AB的中点坐标是解决本题的关键．综合性较强，难度较大．