Question

2．已知数列{a_n}的首项a₁=1，当n≥2时，a_n=2a_n-1+1；
（1）证明：数列{a_n+1}是等比数列；
（2）数列{b_n}中，b₁=1，n≥2时，b_n-b_n-1=a_n，求数列{b_n}的通项公式b_n．

Answer 1

分析 （1）把已知数列递推式变形，可得a_n+1=2（a_n-1+1），结合a₁+1=2≠0，可得数列{a_n+1}是等比数列；
（2）由（1）求出${a}_{n}={2}^{n}-1$，代入b_n-b_n-1=a_n，然后利用累加法求得数列{b_n}的通项公式b_n．

解答 （1）证明：由a_n=2a_n-1+1（n≥2），得
a_n+1=2（a_n-1+1），
又a₁+1=2≠0，
∴$\frac{{a}_{n}+1}{{a}_{n-1}+1}=2$（n≥2），
∴数列{a_n+1}是等比数列是以2为首项，以2为公比的等比数列；
（2）由（1）得，${a}_{n}+1={2}^{n}$，
∴${a}_{n}={2}^{n}-1$，代入b_n-b_n-1=a_n，
得b_n-b_n-1=2ⁿ-1（n≥2），
∴${b}_{2}-{b}_{1}={2}^{2}-1$，${b}_{3}-{b}_{2}={2}^{3}-1$，${b}_{4}-{b}_{3}={2}^{3}-1$，…，b_n-b_n-1=2ⁿ-1（n≥2），
累加得：${b}_{n}-{b}_{1}={2}^{2}+{2}^{3}+…+{2}^{n}-（n-1）$=$\frac{4（1-{2}^{n-1}）}{1-2}-（n-1）={2}^{n+1}-n-3$，
∴${b}_{n}={2}^{n+1}-n-2$（n≥2）．
验证n=1时上式成立，
∴${b}_{n}={2}^{n+1}-n-2$．

点评 本题考查数列递推式，考查了等比关系的确定，训练了累加法求数列的通项公式，是中档题．