Question

12．已知等比数列{a_n}满足a₁=1，a₄=4（a₃-a₂），数列{b_n}满足b_n=1+2log₂a_n．
（1）求数列{a_n}和{b_n}的通项公式；
（2）令T_n=$\frac{{b}_{1}}{{a}_{n}}$+$\frac{{b}_{2}}{{a}_{n-1}}$+$\frac{{b}_{3}}{{a}_{n-2}}$…+$\frac{{b}_{n-1}}{{a}_{2}}$+$\frac{{b}_{n}}{{a}_{1}}$，求T_n．

Answer 1

分析 （1）利用等比数列的通项公式可得a_n；利用对数的运算性质可得b_n．
（2）利用“错位相减法”与等比数列的前n项和公式即可得出．

解答 解：（1）设等比数列{a_n}的公比为q，∵a₁=1，a₄=4（a₃-a₂），
∴q³=4（q²-q），化为：q²-4q+4=0，解得q=2．
∴a_n=2^n-1．
数列{b_n}满足b_n=1+2log₂a_n=1+2（n-1）=2n-1．
（2）∵T_n=$\frac{{b}_{1}}{{a}_{n}}$+$\frac{{b}_{2}}{{a}_{n-1}}$+$\frac{{b}_{3}}{{a}_{n-2}}$…+$\frac{{b}_{n-1}}{{a}_{2}}$+$\frac{{b}_{n}}{{a}_{1}}$=$\frac{1}{{2}^{n-1}}$+$\frac{3}{{2}^{n-2}}$+…+$\frac{2n-3}{2}$+2n-1，
$\frac{1}{2}$T_n=$\frac{1}{{2}^{n}}$+$\frac{3}{{2}^{n-1}}$+…+$\frac{2n-3}{{2}^{2}}$+$\frac{1}{2}（2n-1）$，
可得：-$\frac{1}{2}$T_n=$\frac{1}{{2}^{n}}$+2$（\frac{1}{{2}^{n-1}}+\frac{1}{{2}^{n-2}}+…+\frac{1}{2}）$-（2n-1）=$\frac{1}{{2}^{n}}$+2×$\frac{\frac{1}{2}（1-\frac{1}{{2}^{n-1}}）}{1-\frac{1}{2}}$-（2n-1）=3-2n-$\frac{3}{{2}^{n}}$，
∴T_n=$\frac{6}{{2}^{n}}$+4n-6．

点评 本题考查了“错位相减法”、等比数列的通项公式及其前n项和公式、对数的运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．