Question

17．己知数列{a_n}的前n项和为S_n，且满足a₁=-1，a_n=$\frac{3}{n+2}$S_n（其中n∈N^*），则S_n=-$\frac{n（n+1）（n+2）}{6}$．

Answer 1

分析 通过S_n=$\frac{n+2}{3}$a_n与S_n-1=$\frac{n+1}{3}$a_n-1作差、整理可知$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n-1}}$=$\frac{n+1}{n-1}$，进而利用累乘法计算可知，当n≥2时a_n=-$\frac{n（n+1）}{2}$，进而利用S_n=$\frac{n+2}{3}$a_n计算即得结论．

解答 解：∵a_n=$\frac{3}{n+2}$S_n，
∴S_n=$\frac{n+2}{3}$a_n，
当n≥2时，S_n-1=$\frac{n+1}{3}$a_n-1，
两式相减得：a_n=$\frac{n+2}{3}$a_n-$\frac{n+1}{3}$a_n-1，
整理得：$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n-1}}$=$\frac{n+1}{n-1}$，
又∵a₁=-1，
∴当n≥2时，a_n=$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n-1}}$•$\frac{{a}_{n-1}}{{a}_{n-2}}$•…•$\frac{{a}_{2}}{{a}_{1}}$•a₁
=$\frac{n+1}{n-1}$•$\frac{n}{n-2}$•…•$\frac{3}{1}$•（-1）
=-$\frac{n（n+1）}{2}$，
又∵a₁=-1满足上式，
∴a_n=-$\frac{n（n+1）}{2}$，
∴S_n=$\frac{n+2}{3}$a_n=-$\frac{n+2}{3}$•$\frac{n（n+1）}{2}$=-$\frac{n（n+1）（n+2）}{6}$，
故答案为：-$\frac{n（n+1）（n+2）}{6}$．

点评 本题考查数列的通项及前n项和，考查累乘法，注意解题方法的积累，属于中档题．