Question

7．在（1+2x-$\frac{1}{{x}^{2016}}$）¹⁰的展开式中，x²项的系数为180．

Answer 1

分析 （1+2x-$\frac{1}{{x}^{2016}}$）¹⁰的展开式中，通项公式T_r+1=${∁}_{10}^{r}$$（1+2x）^{10-r}（-\frac{1}{{x}^{2016}}）^{r}$，令r=0，可得：T₁=（1+2x）¹⁰，再考虑其通项公式即可得出．

解答 解：（1+2x-$\frac{1}{{x}^{2016}}$）¹⁰的展开式中，通项公式T_r+1=${∁}_{10}^{r}$$（1+2x）^{10-r}（-\frac{1}{{x}^{2016}}）^{r}$，
必须令r=0，可得：T₁=（1+2x）¹⁰，
其中（1+2x）¹⁰的展开式的通项公式：T_k+1=${∁}_{10}^{k}$（2x）^k=${2}^{k}{∁}_{10}^{k}{x}^{k}$，
令k=2，可得x²项的系数为${2}^{2}{∁}_{10}^{2}$．
∴在（1+2x-$\frac{1}{{x}^{2016}}$）¹⁰的展开式中，x²项的系数=${2}^{2}{∁}_{10}^{2}$=180．
故答案为：180．

点评 本题考查了二项式定理的应用、组合数的计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．