Question

6．已知a＞0，b＞0，且$\frac{2}{a+2}$+$\frac{1}{a+2b}$=1，则a+b的最小值是$\sqrt{2}$+$\frac{1}{2}$．

Answer 1

分析 由$\frac{2}{a+2}$+$\frac{1}{a+2b}$=1，得到2b=1+$\frac{2}{a}$-a，则2a+2b=2a+1+$\frac{2}{a}$-a=a+$\frac{2}{a}$+1，根据基本不等式即可求出答案．

解答 解：由$\frac{2}{a+2}$+$\frac{1}{a+2b}$=1，得到2b=1+$\frac{2}{a}$-a，
∴2a+2b=2a+1+$\frac{2}{a}$-a=a+$\frac{2}{a}$+1≥2$\sqrt{a•\frac{2}{a}}$+1=2$\sqrt{2}$+1，当且仅当a=$\sqrt{2}$时取等号，
∴a+b≥$\sqrt{2}$+$\frac{1}{2}$，
∴a+b的最小值是$\sqrt{2}$+$\frac{1}{2}$，
故答案为：$\sqrt{2}$+$\frac{1}{2}$．

点评 该题考查利用基本不等式求函数的最值，属基础题，注意适用条件：一正、二定、三相等．